非规则网格下二维浅水流动的数值模拟

陈祖华　　王光谦
（清华大学教育部水沙科学重点实验室，北京100084）
王 志 石
（澳门大学科技学院，澳门）

　　摘要：本文建立了一种在非规则结构化网格上求解平面二维浅水流动的有限体积方法，通过采用地形在离散网格内双线性变化及离散网格界面间地形连续的地形逼近方法，应用可以有效处理间断问题的 Roe格式来离散浅水方程中的对流项，并通过Van Leer提出的状态插值法提高格式精度。在计算原始变量在网格内的插值梯度时，采用最小二乘方法求变量的最优梯度代替差分计算梯度，从而可采用任意形状的不规则四边形网格离散计算域。计算实例表明，本文的方法能够计算间断问题并能够处理各种复杂流态的过渡，具有较好适应性和计算精度，能够满足不同实际问题的计算要求。
　　关键词：浅水方程有限体积法Roe格式潮流澳门周围水域
1.引言
　　许多工程中的流动问题常常可以用浅水流动模型来描述，如近海、湖泊、水库及河日中的流动。由于应用广泛，对浅水流动控制方程组的数值方法也受到较多关注。由于浅水方程在数学上属双曲方程组，在一定的条件下会产生如水跃。溃坝波、涌浪等的强间断解，这给方程的数值求解带来了一些困难，普通的有限差分格式不能有效处理间断解，因而大大限制了所编制程序的应用范围。近年来，在计算空气动力学中已经较为成熟的许多高精度于振荡的激波捕捉格式，如TVD格式、利用黎曼解的 Godunov型格式等，这些格式克服了间断产生的数值振荡，可以处理复杂流态的过渡，正越来越多地被应用到浅水流动计算中，如[1]～[3]。与气流不同，由于浅水流动存在底部地形的变化，当地形变化较大时不能直接应用这些格式。
　　本文通过采用地形在离散网格内双线性变化及离散网格界面间地形连续的地形逼近方法，采用可以有效处理间断问题的Roe格式[5]来离散浅水方程中的对流项，在此基础上建立了一种平面二维浅水方程的数值求解方法。采用 Van Leer提出的状态插值法（MUSCL）[6]问提高格式精度，界面状态插值时采用了文献[1]中使用的方法即以对水位插值代替水深插值，以解决在复杂地形条件下应用Roe格式的问题。在计算原始变量在网格内的插值梯度时，本文采用最小二乘方法求变量的最优梯度代替差分计算梯度，从而可采用任意形状的不规则四边形网格离散计算域，这避免采用正交曲线坐标变换方法以拟合很多实际问题中计算域的不规则的边界，降低了网格生成的困难，同时又能具有较高的边界拟合精度。
2.基本方程
　　采用如下守恒形式的水深平均平面二维流动控制方程组：

3.3.数值求解方法
　　本文采用有限体积法求解方程(1)。有限体积法的关键在于计算对流通量的格式。考虑到浅水方。程双曲性和非线性的特点，本采用一种有效处理间断问题的R。i通量差分裂格式[5]，该格式具有自动处理复杂流态过渡，无振荡等优点，因此本文所用的数值方法不仅适用与一般的光滑流动，也能计算溃坝水流或有水跃等复杂流态过渡的流动问题。采用这种无振荡的格式也利于在潮汐流动计算中处理活动边界。由于这种利用黎曼解的格式是中计算空气动力学推广而来，因此必须要考虑浅水流动有别于气流的万面[7]，主要是在浅水流动中要考虑水下为了在水下地形变化较大时也能够直接推广应用Roe格式，本文采用任意四边形网格离散计算域，并假定每一网格内的地面高程双线性变化，网格间的交界面上底高程保持连续，如图1所示，这时一个离散网格内的地形分布由其四个顶点的高程决定。

　　式中 采用同样的方法得到。采用这种方法而不是使用单侧差分求变量的变化梯度，虽然计算量和格式数值粘性均有所增加，但是可以采用不规则网格，从而降低了网格生成的困难，又能提高不规则边界的拟合精度。
　　但是对于浅水流动来说，由于存在水下地形的变化，有时地形变化还较大，这时采用以上的插值方法不适用，一般的处理方法是将水深插值代以对水位插值，在插值出网格界面中点水位后，减去该点水底高程得到水深[1]。这也是为什么水下地形的描述方式要求保证网格界面地形连续的原因。

4.边界条件及动边界处理

　　采用虚网格法来设置边界条件，通过把边界条件加在对应的虚网格上，这样可以使边界通量的计算采用与域内相同的方法计算，使边界格式与内点一致。边界条件可分为固壁边界和开边界两种。对固壁边界，法向流速为零而切向常采用滑移条件。其相应的虚网格的变量值采用镜像条件确定。即具有与内点相同的水深而流速是内点流速关于边界的镜像，同时其状态插值的受限坡度δ 与内点在边界法向投影大小相等，方向相反[2]。对开边界虚网格上的未知量，本文采用变量外插来确定。
　　动边界问题常常是河口海岸地区数值模拟中需要考虑的，它也是数值计算中一个比较困难的问题。采用Roe格式有利于处理动边界问题，因为经过修正后的Roe格式已满足嫡条件且具正性，能够正确计算有水网格与无水网格界面的数值通量（它实际上是一个下游无水时的溃坝问题），不会因数值振荡引起负水深导致计算无法进行，无需特别的处理。但是对网格取平均后在动边界处常常具有偏高的流速，为了保证计算稳定，仍然需要对动边界作一定的处理。本文采用的方法是将两侧网格都是不完全淹没网格的网格边界当作固壁边界处理以阻止动边界处的水深扩散，避免较高的流速。这里所谓不完全淹没指网格形心的水位小于任意一个网格节点的水下高程。这可以看作是小水深法的一种变体，但是它更好地保持了有限体积法的守恒优点。此外，在动边界附近，为了防止摩阻项引起计算失稳，需要对该项作一些限制，限于篇幅不在此处讨论。

5.计算实例与讨论

　　本文采用两个模型问题和一个实际算例来检验所提出的方法。第一个例子是一维溃坝水流的水槽实验，它检验数值格式处理间断、复杂流态过渡和动边界的能力；第二个例子是计算Bellos等[9]的二维溃坝水流的水槽实验，检验本文方法处理二维间断水流计算的效果；澳门周围水域潮流计算说明本文方法在工程实例中的应用效果。
5.1.一维溃坝水流计算
　　这个例子取自文献[4]。等宽水槽中设置一个截面为三角形的堰，在距左端 15.5mn处设有闸门，闸门上游水深 0.75m（图 4中虚线），闸门与堰之间无水。水槽末端为高 0.15m的挡水堰，它与上述三角形堰之间保持 0.15m深的静水。在在一 0时突然将闸门移去。计算采用均匀网格，空间步长0.5m，计算中对下游边界作了简化，没有考虑末端挡水堰而是将下游看作静水深 0.15m的无限长渠道。计算中忽略扩散项，曼宁糙率取 0.0125[4]。图 3是距水槽左端 19.5m处的水位随时间的变化过程计算值与实验量测值的比较，二者符合较好。图 4中实线是t= 10s时水位沿程分布，可以看到在三角形堰前后水流均发生了水跃。除下游段因边界简化而与文献[4]中有所差异外，本文计算的结果与原文献是一致的。

　　　

5.2二维溃坝水流
　　这个例子是 Bellos等[9]进行的一个瞬时溃坝水流的水槽实验。实验水槽如图5所示。水槽中部有一个收缩.扩散段，闸门位于其中最窄处，瞬时打开。所选的计算条件是上游水深30cm，下游水深10.1cm，底坡为0。计算糙率取0.012，共划分为42×10个网格，下游末端的边界条件为矩形薄壁堰的水位流量关系。图6是几个测点的水位过程线的计算和实测值的对比，其中X=0指上游紧靠闸门处的测点。由图可见，各测点的计算值均很好地和实测值符合。
5.3.澳门周围水域潮汐流动的计算
　　澳门附近水域东临怜什洋湾日之西侧、往西连接磨刀门水道的支汊洪湾水道；南面是珠江口外海区。在上游径流、外海潮流、沿岸流、风浪流等水动力共同作用影响下，水流运动较为复杂。我们采用上述数值方法对澳门周围水域的潮汐流动进行一计算，为了利川现有资料，计算采川均匀矩形网格，计算区域为32.0 km × 22.km的 矩形（图7〕，共划分为65 ×46个网格，网格人小为 500m × 500m。

　　采用1980年n月的一组水文资料对澳门周围水域的潮汐流动作了验证计算，计算中糙率取0.017。边界条件的确定方法如下：对南边界采用水位边界条件，由实测潮汐水位指定。对西江入口处给定流量，由于资料有限，只能给定一个恒定流量，忽略了时间变化过程。其余开边界无资料给定，采用人工数值边界条件。
　　图8是计算的P4点水位与实测资料的对比。由图可见涨落潮的潮位、相位和波形均与实测吻合良好，计算基本反映了该地区的潮位变化规律。图9是P3测点的流速计算值与实测值的对比，两者较为符合，只是开始几小时流向误差较大，这一方面可能是因为在平潮时流速较小，可能的测量误差较大，另一方面是也可能是因为数值边界条件未能完全反映来自伶仃洋的潮流的影响造成的误差。

6.结语

　　在浅水流动计算中非线性对流项的数值离散格式对计算是非常重要的，本文将基于黎曼解的Roe格式结合MUSCL方法应用平面二维浅水流动的数值计算中，在此基础上建立了一种数值求解平面二雏浅水流动的数值方法。由于采用最小二乘方法解网格内的最优梯度代替单侧差分，本文方法的人工数值耗散较一般TVD格式大，但是可以直接应用于任意不规则的离散网格上而不采用坐标变换，在降低网格剖分要求的同时增加了对物理边界拟合的精度。计算实例表明，由于采用了性能较好的Roe格式，本文的方法能够计算间断问题并能够处理各种复杂流态的过渡，具有较好适应性和计算精度，能够满足不同实际问题的计算要求。

参考文献：
[1]胡四一，谭维炎，无结构网格上二维浅水流动的数值模拟，水科学进展，1995，6（l）：1～9
[2]Bradford S.F.and Katopodes N.D.Hydrodynamics of turbid underflows.I：Formulation andnumerical analysis.Journal of Hydr.Eng., 1999，125（10）：1006—1015
[3]苏铭德，徐昕，朱锦林，韩耀宗，数值模拟在钱塘江涌潮分析中的应用I.数值计算方法，力学学报，1999，31（5）：521～533
[4]Garcla－Navarro P.＆ Vazquez－Cendon M.E.On numerical treatment of the source terms in theshallow water equations，Computers ＆ Fluids，2000，29：951～979
[5]Roe，P..L.Approximate Riemann solvers，Parameter vectors，and difference schemes，J.Computat.Phys.,1981，43：357～372
[6]Van Leer， B.Towards the ultimate consevative difference scheme.V.A second order sequel to　Godunov’s method.J.Computat.Phys.1979，32:101～136
[7]谭维炎，浅水动力学的回顾和当代前沿问题，水科学进展，1999，10（3）：296－303
[8]Monthe L.A., Benkhaldoun F.,Elmahi I.Positivity preserving finite volume Roe schemes fortransport-diffusion equations. Comput.Methods Appl.Mech.Engrg, 1999,178 :215～232;
[9] Bellos C.V., Soulis J.V., Sakkas J.G，Experimental Investigation of two－dimensional dam－break　induced flows，Journal of Hydr.Res., 1992.30（1）； pp47～63

Numerical Simulation of Two－Dimensional Shallow Water　
Flow on lrrgular Grids　
Chen Zuhua Wang Guangqian
（Dinghua University, Key Labofstory for Water and Sediment sciences of Ministry of Education，Bejing 100084）
Wang Zhishi
（The College of Science and Technologyg University of Macau）

　　AbstraCt：A numerical model for the solution of the two-dimensional shallow-water flow on　irregular grids is described.The model，which is based on finite-volume method，adopted the Roe’sapproximate Riemann solver to deal with the advection termss in the shallow－water equations.Abilinear approximation for the topography in a discrete cell is introduced to preclude the restrictions on　the Roe’s scheme to bed slope.And a modified MUSCL technique is combined to obtain an increased accuracy instead of unilateral difference method，the least square method is used to find the gradient of the primitive variables so that irregular grids can be used.The results of several examples show that the model is capable of treating discontinuities and flow transients, and is of good accuracy as well as performance for different applications.
　　Key words：Shallow－Water Equations，Finite－Volume Method，Roe’s scheme，Tidal Flow，The　Surrounding waters of Macau