数学模型在给水管网系统中的应用

郭智 郑毅
天津市自来水集团有限公司

　　随着优化数学和现代数学的发展，数学模型在专业领域中的应用越来越广泛，往往由于资金或其它实际条件等原因的限制，人们不可能靠试验获得所有数据，而只能在少量数据的基础上，建立数学模型，通过求解数学模型来获得所需数据。

1、模型校核问题描述

　　给水管网系统用模型表示出来，用于现状分析、优化调度及改扩建规划等。在模型使用之前，必须确保模型在一定精度范围内与实际管网相吻合，这一过程称为模型校核。Shamir和Howard （1977）认为：校核包括确定系统的静态和动态特性，确保数据输入后得到真实的结果。Cesario和Davis（1984）给出了一个模型校校的定义：校核就是一个微调模型直到模型在一定精度范围内能仿真某一工况卞的实际管网特性（如：最高时）的过程。Walski（1983）给校核下了一个准确的定义：校核是一个分两步走的过程，包括（1）比较已知运行条件下（包括水泵运行工况、水池水位、减压阀的状态）压力和流量的模拟值与测量值；（2）调整模型输入数据，使得模拟值与观测值在一定精度范围内吻合，模型的合理性判断依据是测试点水头的模拟值和观测值之间的偏差。
　　总体来说，模型校核就是依靠城市给水管网系统监测点信息与模拟信息的吻合程度调整节点流量、C值或其他参数反复平差计算。

2、校核模型的建立

　　A模型的构思
　　无论采用什么方法来消除测压点处的压差，都应使被调整值尽可能符合实际情况为前提。如果假设管网水力计算中的公式和管网简化图形是准确的，那么通过分析可知，产生压力不一致的原因必然是节点流量q和摩阻系数S不准确导致的。也就是说，测压点处压力的计算和实测值的差值是与各节点流量和各管段摩阻有关。各节点流量和各管段摩阻的调整值本质上应该是由它们的计算值和实际值的差异决定的。只有这样的调整才能既消除测压点处的压差，同时又符合管网的实际情况，这是本文对给水管网进行模型校核的基本出发点。
　　从另一个角度看，不论是用公式计算得到的节点流量，还是用试验得到的阻力系数C值，都是在前人的实践中反复摸索或反复试验中得到的。从这个角度看，对它们的调整值并不是越多越好，恰恰相反，而是应尽量调整得少而效果最好。
　　另外，考虑到实际工作中实测压力时的具体条件和具体情况，本文认为压力是实测，但是也有一定的误差，所以在进行复核计算时，当测压点处的压差降到一定限度之内时，计算便停止了。若要完全消除，显然没有实际意义。
B 模型的建立
　　在进行了管网的水力计算后，测压点处的实测值和计算值将有一定压力差，复核计算的数学模型的最终目的，是在尽可能符合实际情况的前提卜，将测压点处压差处压差降到一定限度以内。另外，调整q和C后，管网水平平衡必须满足。
　　为减少变量，同 年代同一管径的管段采用同一C值。基于以上分析和最小二乘原理，提出单负荷管网模式复核的数学模型：

　　　　　　　　　　

　　目标函数中；
　　D₁——所有节点流量的总系数，计算时取某一常数；
　　D₂——所有C值的总系数，计算时取某一常数；
　　K_qi——第i个节点的流量加权系数，一般取1；
　　K_ci——第i种类型C值的加权系数，般取1；
　　q_i——节点流量的当前值；
　　q_i⁰——按节点流量公式计算得到的节点流量，常量：
　　c_i——管段摩阻当前值，同年代同管径的管段采用同一个值，计算过程为变量；
　　C_i⁰——按试验得到的阻力系数，常量。
　　约束条件中(1)为节点方程组，
　　（2）中：H_k为第k个测压点的模拟值；
　　　　　　H_k测为第k个测压点的测量值；
　　　　　 ε为计算值和测量值的允许限度；
　　（3）中：n为测压点个数。
　　模型的意义在于：在保证水力平衡条件下，在各节点流量和管段摩阻的变化成调整最小的情况下，使被测压点处压差．降到允许限度以内。　
　　C 模型的简化
　　从以上可知，目标函数和约束条件都出现了非线性的情况，是一个带约束的非线性规划问题，求解过于复杂。为简化，先将问题化为无约束问题。将（2）代入（1）；将（3）采用外惩罚函数的办法，将各个等式乘以一个相应的罚出于，加到目标函数中去，这样，就转化为一个求无约束极值问题了。其模型如下：

　　　　
　中：D3———罚函数因子；
　　　　kHk——各测压点处的加权系数。
　　1）模型中的参数分析
　　D₁可以在总体上控制节点流量的变化；D₂可以在总体上控制管段摩阻的变化。kqi，kci无特殊情况一般取1；kHk可以控制不同测压点的权重系数。由于q和c的变化在同一个数量级上，因而D₁、D₂取同一数量级。应当注意的是，个别节点的节省流量等于0或趋近于0时，应改为绝对值的平方差，而非相对值。
　　2）模型的求解
　　对这类复杂问题的求解，常需要使用搜索法，并要进行若干次迭代、解非线性极值问题的迭代法大体上可分为两类：第一类要用到函数的数，由于用到了函数的解析性质，故称之为解析法；第二类仅用到函数值而不要求函数的解析性质，称之为直接法。一般
来说，直接法的收敛较慢，只在变量较少时才用。
　　这里采用共轭梯度法，共轭梯度法是一个二次收敛算法，在函数二次性较强的区域内有较好的效果。由于问题的不适定性，将C和q值单独调整。
　　a．共轭梯度法简介
　　共轭梯度法的最大优点是在极值点附近能加快收敛的速度，它是共轭方向法的一种。
　　为了既能避免 Hesse矩阵的计算又能生成共轭方向，人们提出了多种，其中Fletcher和Reeves提出的方法，简称为F-R法，使用方便且有效，故本文采用F-R法。关于F-R法的推导在许多书籍上都有介绍，本人在此就不陈述了。只将其结论写出：共轭方向为该次的负梯度方向与上次搜索方向的线性组合。即：

　　　　　　　P^（i+1)=-G⁽ⁱ⁺¹⁾+B⁽ⁱ⁾P⁽ⁱ⁾
　　　　　　　其中：B(i)=[G^（i+1)]T.G^（i+1)/[G^（i)].G^（i)) 　　i=0,1,2,...

　　在共轭梯度法进行迭代的第一步，取负梯度方向为搜索方向。即S（0）=-f(X⁽⁰⁾),而以后各步的搜索方向为上次搜索的共轭方向。共轭梯度法的迭代步骤如下：

　　　　<1>给定X^（0），并令S^（0）=-f(X^（0）);
　　　　<2>对于K=0，1，2...,n-1
　　　　i.若‖f(X^(k)<=X^(k))‖＜ε，则终止迭代，否则
　　　　ii.令X^（K+1）=X（k）+λk.S^(k)
　　　　　　式中λk与f(X^(k)+λS^（k））取极小值
　　　　iii.当K<n-1时，令S^(k+1)=-f(X^(k-1)+Bk.S^{(k)
　　　　　　　<3> 　以X（k=1)代替X（k），并回到第<1>步。}
　　 若n维目标函数为二次函数，则利用共轭梯度法，理论上只要经过n次迭代即可达到最小点。但在实际计算中，由于舍入误差的原因，总要进行n次以上的迭代才能得到满意的结果。对于非二次函数，迭代的次数当然更多。但n维问题的共轭方向最多只有n个，在迭代了n次以后，继续进行是没有意义的。同时，舍入误差的积累也越来越多，对收敛不利。因此，在实际应用时，当计算进行了n次得到X（n）后，采取重新开始迭代的方法。由于算法的第一个搜索方向为最速下降方向，因此有助于突破目标函数的非二
次性，同时也可减少误差的积累。
　　一维搜索时采用伸缩法。
　　延伸收缩法-维搜索简介：

　　如1所示，设f[x]为x的一元函数，设一维搜索的起始点为X（0）=Q[i]，则搜索方向上的其余各点可记为X＝Q[i+∑k]。其中k＝1，2，4，8，…称为加倍步长因子。
　　先计算f[Q[i]]、f[Q[i＋1]]，若f[Q[i]＞f[Q[i+1]]，且X=Q[i+1]∈D，则将步长加长两倍，计算f[Q[i＋3]]，若 f[Q[i＋1]]＞f[Q[i+3]]，且X=Q[i+3]∈D，则将步长再加长两倍，并重复前述运算，否则，按以下规则收缩。
　　设当前的停留点为X，此点已越出可行域外，或者目标函数已比前一点增加，k(r)是最后一次搜索的步长因子。上标r为搜索延伸的次数，则当前离散点的下标为

　　　　　　　　

　　收缩离散点可表示为

　　　　　　　　

　　式中 N——k^（r-1)和k^(r)间隔的收缩次数；
　　　　　I<a>——取a的整数部分。
　　在收缩时每收缩一次后的新点均需检验目标函数和该点是否可行，－R两者均能满足时，则停止收缩。如图1所示，r＝4，k⁽⁴⁾＝8，N=2，k^(r)阶段的收缩终止点为x＝Q[i+9]。收缩过程如图中虚线所示。
　　在得到k（r)阶段的收缩终止点后，再从此点开始重复前述延伸收缩运算。
　　延伸收缩的终止准则是，当收缩终止点与收缩区间的起始点重合时，离散一维搜索结束。若终止点异于X（0），则离散一维搜索成功，否则认为搜索失败，这时就取X^（0）为当前一维搜索的终止点。
　　如果开始时 f[Q[i]]＜f[Q[i+1]，且x＝Q[i+1]∈D，则将k变号，即按X=Q[i-∑k]方向搜索，其余步骤相同。
　　如果是多元离散变量的函数，按式（4）和式（5）进行延伸收缩的一维搜索时，沿-M方向只对Xd分量进行搜索。
　　b．算法在本模型中的应用
　　　　流程图

3、模型校核应用
　　天津市供水管网115个压力监测点24小时统计结果见表1。

表1 压力监测点24小时统计结果

压力监测点误差 ＜1m ＜2m ＜3m 数据总数 1766 2488 2760 百分比 64.0% 88.0% 100%

　　13个流量监测点24小时统计结果见表2。

表2 流量监测点24小时统计结果

流量监测点误差 ＜5%管段流量 ＜10%管段流量 ＜12%管段流量 数据总数 187 309 312 百分比 60% 99% 100%

　　流量误差大于川％的均为凌庄五干，该干管管段流量小于天津市用水量的1.5%。这说明按百分比误差来说其误差较大，但按实际误差值来说，其设并不大。
　　水厂出水量24小时计算结果统计见表3。

表3 水厂出水量24小时统计结果

计算值与测定值的差值 ＜1%水厂出水量 ＜2%水厂出水量 ＜6%水厂出水量 芥园 41.7% 79.2% 100% 新开河 37.5% 75.0% 100% 凌庄 45.8% 83.3% 100%

　　由上可见，经过模量校核，压力和流量误差，均在给定允许范围之内，模型完全可以用于实际工程应用。
模型校核是管网建模的关键一环，也是比较复杂、比较困难的一环；问时也是对模型的实用性影响最大的一环。模型校核过程同时也是对管网图形库、数据库的进一步校核、检验修改完善的过程。模型校核过程还是一个不断反复更新完善的过程。对于大津市这样的大型供水管网系统，每年都新增大量的管线，去掉一些旧管线、管网拓扑结构的变化，必须及时地反映到模型中。另外，水源的变化、大量户位置的变化，用户用水模式的变化，管网操作条件的变化等，都应在模型中做相应的修改，经常进行模型的维护、更新和扩展工作。

4、结论

　　在数据精度分析的基础上，以最优化方法作为模型校核的基本方法。通过简化校核工况、调整管道阻力系数及节点流量阐明了宏观与微观相结合模型校核的过程与意义。并以天津市供水管网128个测试点的实测压力与流量时间序列数据，对新建立的动态模型进行了校核，达到了精度的要求。