迭代方法在明渠水力计算中的应用

樊建军，刘金香，袁华山
(南华大学建筑工程与资源环境学院，湖南衡阳421001)

　　摘　要：为克服明渠水力计算中试算法带有盲目性、计算工作量大和图解法使用不便、精度较差的缺陷，在对明渠水力计算公式进行充分剖析的基础上，给出了相应的迭代公式，并从数学上证明了迭代公式的收敛性。公式用于工程设计计算具有速度快、精度高的优点，效果令人满意。
　　关键词：迭代法；明渠；水力计算
　　中图分类号：TU991.32
　　文献标识码：C
　　文章编号：1000-4602(2001)06-0043-02

1　基本公式与迭代公式

　　明渠均匀流的基本公式为：

　　
　　式中　Q——流量
　　　　　i——渠道底坡
　　　　　n——粗糙系数
　　　　　m——边坡系数
　　　　　b——渠底宽度
　　　　　h——水深
　　对基本公式加以改造，可得求解b或h的迭代公式：

　　

　　明渠水流处于临界流状态时，各参数满足以下关系：

　　　　　　αQ²／g＝(b+mhk)³h_k／b+2mh_k　　　　　　　　　(5)
　　式中　α——动能修正系数，通常取α＝1
　　　　　g——重力加速度
　　　　　hk——临界水深

　　对式(5)进行改造，可得计算临界水深的迭代公式：
　　
　　式中　β——动量修正系数，通常取β＝1
　　　　　ω——过水断面面积，ω＝(b+mh)h
　　　　　y——过水断面形心水深，y＝3bh+2mh²／6(b+mh)
　　令θ(h)＝βQ²／gω+yω，用h′与h″分别代表跃前水深与跃后水深，由水跃基本方程可导出以下迭代公式：
　　

2　收敛性证明

　　根据迭代理论，假设方程f(x)＝0的一个根为a，若把f(x)＝0变形为x＝φ(x)，则迭代形式xn+1＝φ(xn)收敛于a的条件是，如果在a的某一邻域｜x-a｜＜δ内，｜φ′(x)｜＜1，那么以该邻域内任一点为初值的迭代都收敛于a。
　　下面以迭代式(2)为例，证明其收敛性，其他迭代式都可用同样方法得到证明。
　　

3　迭代初值的确定及实例计算

　　虽然迭代式(2)、(3)、(4)、(6)、(8)、(9)、(10)对公式适用范围内的任意初值均收敛，但初值选取是否恰当对迭代计算工作量有一定影响。通过深入分析迭代公式各参数间的关系，建议对迭代式(2)、(3)、(4)、(6)均取初值为零，对迭代式(8)、(9)、(10)则分别取初值如下：
　　

　　实例计算：
　　例1，有一梯形渠道，采用小片石干砌护面(n＝0.02)，设计流量Q＝10m3/s，m＝1.5，i＝0.003，要求水深h＝1.5 m，试确定渠底宽度b。
　　解：用迭代式(2)计算，取初值b(0)＝0，可求得b(1)＝0.60，b(2)＝0.72，b(3)＝0.75，b(4)＝0.75。
取渠底宽度为0.75 m。
　　例2，有一梯形渠道，用大块石干砌护面(n＝0.02)，已知b＝7 m，m＝1.5，i＝0.001 5，需要通过流量Q＝18 m3/s，试确定渠道的正常水深h。
　　解：初估水深＜2 m，则b＞2 mh，可用迭代式(3)计算，取初值h(0)＝0，代入式(3)可求得h(1)＝1.19，h(2)＝1.13，h(3)＝1.15，h(4)＝1.14。
　　取正常水深为1.14 m。
　　例3，有一梯形断面小河，b＝10 m，m＝1.5，Q＝30m³/s，试确定临界水深。
　　解：用迭代式(6)计算，取初值hk(0)＝0，可求得hk(1)＝0.972，hk(2)＝0.924，hk(3)＝0.926，hk(4)＝0.926。
　　取hk＝0.926 m。
　　例4，某梯形渠道，b＝7 m，m＝1，Q＝54.3m³/s，渠中有水跃发生，已知h′＝0.8 m，试确定h″。
　　解：初估h″＜7 m，则b＞mh″，可用迭代式(9)计算。
　　　

4　结语

　　实例计算表明，文中给出的迭代方法相对于目前采用的试算法和图解法而言，既减少了计算工作量，又提高了计算精度，不失为工程设计计算的好方法。
　　虽然求解正常水深和跃后水深的迭代公式均有两个，但根据具体问题和计算者的实践经验，很容易确定采用哪一个迭代式，即使起初无法判断，也只需经过一次迭代后就能作出正确判断，使用也是方便的。
　　因迭代计算是简单的重复，经常从事明渠水力计算的工作人员可编制迭代计算程序，采用计算机运算，一劳永逸。

参考文献：

　　［1］清华大学水力学教研室编.水力学［M］.北京：人民教育出版社，1980.
　　［2］成都科学技术大学水力学教研室编.水力学(上册)［M］.北京：人民教育出版社，1979.
　　［3］武汉大学，山东大学编.计算方法［M］.北京：人民教育出版社，1979.

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　　电　话：(0734)8282020
　　收稿日期：2000-11-21